-حل عددی معادله غیرخطی:
به طورکل در روش های عددی برای حل معادله f=0 به صورت زیر عمل میکنیم:
1- بازه [a,b] را طوری حدس می زنیم که اولا شرایط قضیه بولزانو برقرار باشد. ثانیا f در آن دقیقا یک ریشه داشته باشد یعنی f در آن بازه اکیدایکنوا باشد.
2- دنباله
را که دنباله حاصل از روش های عددی گفته میشود را طوری می سازیم که به ریشه تابع همگرا باشد.
-معیارهای توقف روش های عددی:
در الگوریتم روش های عددی محاسبه جمله های دنباله
را تازمانی ادامه میدهیم که یکی از شرط های توقف زیر برقرارشود:
الف) برای عدد مثبت http://latex.codecogs.com/gif.latex?\epsilon > 0مفروض داده شده یکی از شرایط زیر برقرار شود:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left | f(x_{n}) \right |< \epsilon , \left | x_{n}-x_{n-1} \right |< \epsilon ,\left | \frac{x_{n}-x_{n-1}}{x_{n-1}} \right |< \epsilon
ب) خودمساله تعیین کند که تا چندگام جملات دنباله محاسبه شود.
- مرتبه همگرایی دنباله روش عددی:
اگر دنباله به عدد
همگرا باشد,مرتبه همگرایی آن برابرp است اگر عدد مثبت c موجود باشد به قسمی که داشته باشیم:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\left | x_{n+1}-\alpha \right |}{\left | x_{n}-\alpha \right |^{p}}=c\neq 0
که اگر فرض کنیم http://latex.codecogs.com/gif.latex?e_{n}=x_{n}-\alpha , e_{n+1}=x_{n+1}-\alphaمیشود:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\left | e_{n+1} \right |}{\left | e_{n} \right |^{p}}=c\neq 0
نکته: هرچه مرتبه همگرایی دنباله ی روش عددی موردنظر بیش تر باشد همگرایی آن سریع تر است.
-روش های عددی حل معادلات خیرخطی:
الف) روش دوبخشی:
فرض کنیم تابع f در بازه[a,b] پیوسته باشد وشرایط قضیه بولزانو موجود باشد دراین صورت به طریق زیر عمل میکنیم:
در این روش تصمیم گیری برای انتخاب تقریب اولیه ریشه تابع f با نصف کردن بازه شروع میشود بدین صورت که:
انتخاب میشود .سه حالت اتفاق می افتد:
i) اگر
که x=cریشه مورد نظر است.
ii) اگر
باشد دراین صورت ریشه تابع در بازه ی باز (a,c) قرار دارد.
iii) اگر http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(a)f(c)> 0 باشد دراین صورت ریشه تابع در بازه ی باز (c,b) قرار دارد.
اگر هرکدام از حالتهای iiوiii رخ بدهد دوباره الگوریتم را تکرار میکنیم آن قدر که بازه مورد نظر کوچک و کوچکتر شود به ریشه معادله f=0 نزدیک شویم .
پس مراحل زیر را طی میکنیم:
گام اول- http://latex.codecogs.com/gif.latex?[a,b]=[a_{1},b_{1}] , x_{1}=\frac{a_{1}+b_{1}}{2}
گام دوم- http://latex.codecogs.com/gif.latex?[a_{2},b_{2}] , x_{2}=\frac{a_{2}+b_{2}}{2}
.
.
.
.
واین روند ادامه دارد تا : http://latex.codecogs.com/gif.latex?[a_{n},b_{n}] , x_{n}=\frac{a_{n}+b_{n}}{2}
بدین ترتیب یک دنباله نظیر
تولید میشود که به ریشه تابع f همگرا ست.
قضیه: دنباله حاصل از روش دوبخشی برای حل عددی معادله f=0 بر بازه (a,b) همگرا خواهد بود.
مثال) اگر
دنباله حاصل از روش دوبخشی برای حل معادله
,
کدام است؟
جواب: