Kruger
عضو جدید
[h=2][/h]
مقدمه
در سده شانزدهم ، بررسی حرکت ، در مرکز توجه دانش‌های طبیعی قرار داشت. نیازهای علمی و پیشرفت دانش‌های طبیعی ، این دانش‌ها را در آستانه بررسی گونه‌های مختلف تغییر ، و بررسی بستگی بین کمیتهای متغیر قرار داد. مفهوم‌های متغیر و تابع به عنوان بازتابی از ویژگی‌های عمومی کمیتهای متغیر و رابطه بین آنها ، در ریاضیات بوجود آمد و این پیشرفت موضوع ریاضیات ، برای انتقال به دوره تازه یعنی دوره کمیتهای متغیر ، نقش تعیین کننده‌ای داشت.
تعریف کمیت متغیر ریاضی
کمیت متغیر ریاضی عبارت است از "چیزی" یا بهتر بگوییم "چیز دلخواهی" که می‌تواند مقدارهای عددی مختلف را قبول کنند. بنابراین ، متغیر ریاضی ، یک متغیر بطور کلی است که زیر عنوان آن می‌توان هم زمان ، هم ساعت و هم هر کمیت دیگری را فهمید.
مفهوم ریاضی متغیر و تابع
مفهوم ریاضی متغیر و تابع ، چیزی جز تعمیم انتزاعی مقدارهای متغیر مشخص (همچون زمان ، مسافت ، سرعت ، زاویه دوران ، رویه جاروب شده و غیره) و رابطه‌های مشخص بین آنها (مثل رابطه بین مسافت پیموده شده با زمان و غیره) نیست. همان‌طور که عدد حقیقی شکل انتزاعی اندازه کمیت است، همان طور هم "متغیر" شکل انتزاعی کمیت تغییر کننده است، کمیتی که می‌تواند مقدارهای مختلفی را قبول کند.
تعریف تابع
تابع عبارت است از شکل انتزاعی بستگی یک کمیت با کمیت دیگر. این مطلب که y تابعی است از x ، در ریاضیات تنها این معنی را می‌دهد که به ازای هر مقدار x ، مقدار متناظر معینی برای y وجود دارد (مفهوم تابع ، هم به معنی خود بستگی متقابل و هم به معنی قانون بستگی متقابل کمیت y با کمیت x می باشد). مثلا انرژی یک جسم متحرک ، برحسب جرم و سرعت آن ، طبق این دستور تعیین می‌شود:
برای یک جسم مفروض ، انرژی E آن تابعی است از سرعت v آن.
آنالیز ریاضی
رشته‌ای از ریاضیات که ویژه بررسی تابعها است، آنالیز ، آنالیز ریاضی و یا (آن طور که اغلب نامیده می‌شود) آنالیز بی‌نهایت کوچکها است. نام‌گذاری اخیر به این سبب است که مفهوم مقدارهای بی‌نهایت کوچک ، به عنوان وسیله مهمی برای بررسی تابعها بکار می‌رود. از آنجا که تابع ، شکل انتزاعی رابطه یک کمیت با کمیت دیگر است، می‌توان گفت که موضوع آنالیز عبارت است از بستگی بین کمیتهای متغیر ، ولی نه چنان بستگی که بین این و آن کمیت مشخص وجود دارد، بلکه بستگی بین متغیرها بطور کلی ، متغیرهایی که از هرگونه مضمون و محتوا جدا شده باشد. یک چنین انتزاعی ، گسترش کاربرد آنالیز را تامین می‌کند، زیرا یک دستور و یا یک قضیه ، حالت‌های ممکنه بسیار زیادی رادر بر می‌گیرد.
مراحل توسعه ریاضیات کمیتهای متغیر
دوره اول
بنابراین دوره تازه ریاضیات ، یعنی دوره ریاضیات کمیتهای متغیر را که از سده هفدهم آغاز می‌شود، می‌توان به عنوان دوره پیدایش و پیشرفت آنالیز دانست (این سومین دوره بزرگ ریاضیات است) ولی ، روشن است که هیچ نظریه‌ای تنها با تشکیل مفهوم‌های تازه بوجود نمی‌آید، آنالیز هم نمی‌توانست از مفهوم‌های متغیر و تابع بوجود آید. برای بوجود آمدن نظریه ، و از آن بالاتر برای بوجود آمدن یک رشته کامل علمی ، که آنالیز ریاضی یکی از آنهاست، باید مفهوم‌های تازه وارد عمل و به کمک آنها رابطه‌های تازه‌ای کشف شود و مساله‌های تازه‌ای را حل کنند. مفهوم‌های متغیر و تابع بصورت آماده و یک دفعه برای گالیله ، دکارت ، نیوتن ، و یا هر کس دیگری بوجود نیامد، بلکه برای عده زیادی از ریاضی‌دانان مطرح بود، سپس نیوتن و لایب نیتس شکل کم و بیش روشنی به آنها دادند، ولی این شکل هنوز قطعی نبود و بعدها با پیشرفت آنالیز تعمیم یافت و دقیق‌تر شد.
دوره دوم
گام تعیین کننده بعدی در ریاضیات کمیتهای متغیر ، با بوجودآمدن حساب دیفرانسیل و انتگرال و بوسیله نیوتن و لایب نیتس در نیمه دوم سده هفدهم برداشته شد. این دیگر بوجود آمدن واقعی آنالیز بود، زیرا برخلاف هندسه تحلیلی که موضوع آن در هر صورت شکل‌های هندسی است، موضوع حساب دیفرانسیل و انتگرال ، عبارت از ویژگی‌های خود تابع است. در واقع ، نیوتن و لایب نیتس کار مقدماتی بزرگی که بسیاری از ریاضی‌دانانها در آن شرکت داشتند و تدارک آن از همان زمانی آغاز شده بود که یونانیهای باستان ، به دنبال روش‌هایی برای تعیین سطح و حجم بودند، به پایان رساندند.
دوره سوم
همراه با حساب دیفرانسیل و انتگرال ، رشته‌های دیگری هم در آنالیز بوجود آمد: نظریه رشته‌ها ، نظریه معادله‌های دیفرانسیلی ، بکار بردن آنالیز در هندسه ، نظریه عمومی خطها و رویه‌های منحنی بنام هندسه دیفرانسیلی ، و همه این نظریه‌ها هم بوسیله مساله‌های مکانیک ، فیزیک و صنعت بوجود آمد و پیشرفت کرد.
دوره چهارم
آنالیز و رشته‌های مختلف آن ، روش‌های پرقدرتی برای حل مساله‌های مختلف دانش‌های طبیعت و صنعت بدست داد؛ نخستین آنها را به خاطر بیاوریم: پیدا کردن سرعت تغییر یک کمیت وقتی که رابطه بین خود کمیت و زمان معلوم باشد؛ تعیین مساحت شکل‌های منحنی‌الخط و حجم جسم‌ها؛ تعیین برآورد کلی یک جریان ، یا عمل کلی یک کمیت متغیر. برای نمونه ، حساب دیفرانسیل اجازه می‌دهد عمل گاز را ضمن انبساط ، وقتی که فشار طبق قانون معینی تغییر می‌کند، معین کنیم. همچنین بنابر قانون کولن ، که فشار میدان ناشی از بار نقطه‌ای را (یعنی باری که حجم حامل آن صفر فرض می‌شود) معین می‌کند، می‌توان به کمک حساب انتگرال ، فشار الکتریکی که دستگاه بارهای آن به اندازه کافی پیچیده باشد، پیدا کرد و غیره. سپس آنالیز روش پیدا کردن مقدارهای ماکزیمم و مینیمم را با شرط‌های مختلف بدست داد.
دوره پنجم
همان‌طور که در تاریخ هندسه یونان ، در پایان مسیر طولانی پیشرفت خود ، بیان دقیق و منظم هندسه وسیله اقلیدس داده شد، همان‌طور هم پیشرفت آنالیز ایجاب می‌کرد که بر شالوده‌ای دقیق‌تر و منظم‌تر از آن چه نویسندگان نخستین آن ، یعنی نیوتن ، اولر ، لاگرانژ ، و دیگران پایه گذاری کرده بودند، گذاشته شود. آنالیزی که این دانشمندان بوجود آوردند، اولا روز به روز مساله‌های دشوارتر و عمیق‌تری را در بر می‌گرفت، ثانیا خود حجم مطلب‌های آن ، نظم بیشتر ، شالوده محکم‌تر و اصول عمیق‌تری را طلب می‌کرد. به این ترتیب پیشرفت‌های کمیتی نظریه ، به ناچار مساله تحکیم بیشتر پایه‌های آن و منظم کردن تجزیه و تحلیل انتقادی اصل‌های آن را مطرح می‌کند. "تنظیم اصل‌ها" در نقطه آغاز یک نظریه مطرح نمی‌شود، بلکه پس از آن که نظریه به درجه معینی از پیشرفت برسد، یک چنین تنظیمی لازم می‌شود. زیرا بدون نظریه ، معلوم نیست که اصل‌ها را برای چه چیزی باید تنظیم کرد.
زمان انتقاد از آنالیز و منظم کردن و بنیانی کردن آن در میانه‌های سده نوزدهم به اجبار فرا رسید و با کوشش تعدادی از دانشمندان برجسته ، این امر دشوار و مهم با موفقیت به پایان رسید و بویژه تعریف‌های دقیقی از مفهوم‌های اساسی: عدد حقیقی ، متغیر ، تابع ، حد و پیوستگی بدست آوردند.
در سده شانزدهم ، بررسی حرکت ، در مرکز توجه دانش‌های طبیعی قرار داشت. نیازهای علمی و پیشرفت دانش‌های طبیعی ، این دانش‌ها را در آستانه بررسی گونه‌های مختلف تغییر ، و بررسی بستگی بین کمیتهای متغیر قرار داد. مفهوم‌های متغیر و تابع به عنوان بازتابی از ویژگی‌های عمومی کمیتهای متغیر و رابطه بین آنها ، در ریاضیات بوجود آمد و این پیشرفت موضوع ریاضیات ، برای انتقال به دوره تازه یعنی دوره کمیتهای متغیر ، نقش تعیین کننده‌ای داشت.
تعریف کمیت متغیر ریاضی
کمیت متغیر ریاضی عبارت است از "چیزی" یا بهتر بگوییم "چیز دلخواهی" که می‌تواند مقدارهای عددی مختلف را قبول کنند. بنابراین ، متغیر ریاضی ، یک متغیر بطور کلی است که زیر عنوان آن می‌توان هم زمان ، هم ساعت و هم هر کمیت دیگری را فهمید.
مفهوم ریاضی متغیر و تابع
مفهوم ریاضی متغیر و تابع ، چیزی جز تعمیم انتزاعی مقدارهای متغیر مشخص (همچون زمان ، مسافت ، سرعت ، زاویه دوران ، رویه جاروب شده و غیره) و رابطه‌های مشخص بین آنها (مثل رابطه بین مسافت پیموده شده با زمان و غیره) نیست. همان‌طور که عدد حقیقی شکل انتزاعی اندازه کمیت است، همان طور هم "متغیر" شکل انتزاعی کمیت تغییر کننده است، کمیتی که می‌تواند مقدارهای مختلفی را قبول کند.
تعریف تابع
تابع عبارت است از شکل انتزاعی بستگی یک کمیت با کمیت دیگر. این مطلب که y تابعی است از x ، در ریاضیات تنها این معنی را می‌دهد که به ازای هر مقدار x ، مقدار متناظر معینی برای y وجود دارد (مفهوم تابع ، هم به معنی خود بستگی متقابل و هم به معنی قانون بستگی متقابل کمیت y با کمیت x می باشد). مثلا انرژی یک جسم متحرک ، برحسب جرم و سرعت آن ، طبق این دستور تعیین می‌شود:
برای یک جسم مفروض ، انرژی E آن تابعی است از سرعت v آن.
آنالیز ریاضی
رشته‌ای از ریاضیات که ویژه بررسی تابعها است، آنالیز ، آنالیز ریاضی و یا (آن طور که اغلب نامیده می‌شود) آنالیز بی‌نهایت کوچکها است. نام‌گذاری اخیر به این سبب است که مفهوم مقدارهای بی‌نهایت کوچک ، به عنوان وسیله مهمی برای بررسی تابعها بکار می‌رود. از آنجا که تابع ، شکل انتزاعی رابطه یک کمیت با کمیت دیگر است، می‌توان گفت که موضوع آنالیز عبارت است از بستگی بین کمیتهای متغیر ، ولی نه چنان بستگی که بین این و آن کمیت مشخص وجود دارد، بلکه بستگی بین متغیرها بطور کلی ، متغیرهایی که از هرگونه مضمون و محتوا جدا شده باشد. یک چنین انتزاعی ، گسترش کاربرد آنالیز را تامین می‌کند، زیرا یک دستور و یا یک قضیه ، حالت‌های ممکنه بسیار زیادی رادر بر می‌گیرد.
مراحل توسعه ریاضیات کمیتهای متغیر
دوره اول
بنابراین دوره تازه ریاضیات ، یعنی دوره ریاضیات کمیتهای متغیر را که از سده هفدهم آغاز می‌شود، می‌توان به عنوان دوره پیدایش و پیشرفت آنالیز دانست (این سومین دوره بزرگ ریاضیات است) ولی ، روشن است که هیچ نظریه‌ای تنها با تشکیل مفهوم‌های تازه بوجود نمی‌آید، آنالیز هم نمی‌توانست از مفهوم‌های متغیر و تابع بوجود آید. برای بوجود آمدن نظریه ، و از آن بالاتر برای بوجود آمدن یک رشته کامل علمی ، که آنالیز ریاضی یکی از آنهاست، باید مفهوم‌های تازه وارد عمل و به کمک آنها رابطه‌های تازه‌ای کشف شود و مساله‌های تازه‌ای را حل کنند. مفهوم‌های متغیر و تابع بصورت آماده و یک دفعه برای گالیله ، دکارت ، نیوتن ، و یا هر کس دیگری بوجود نیامد، بلکه برای عده زیادی از ریاضی‌دانان مطرح بود، سپس نیوتن و لایب نیتس شکل کم و بیش روشنی به آنها دادند، ولی این شکل هنوز قطعی نبود و بعدها با پیشرفت آنالیز تعمیم یافت و دقیق‌تر شد.
دوره دوم
گام تعیین کننده بعدی در ریاضیات کمیتهای متغیر ، با بوجودآمدن حساب دیفرانسیل و انتگرال و بوسیله نیوتن و لایب نیتس در نیمه دوم سده هفدهم برداشته شد. این دیگر بوجود آمدن واقعی آنالیز بود، زیرا برخلاف هندسه تحلیلی که موضوع آن در هر صورت شکل‌های هندسی است، موضوع حساب دیفرانسیل و انتگرال ، عبارت از ویژگی‌های خود تابع است. در واقع ، نیوتن و لایب نیتس کار مقدماتی بزرگی که بسیاری از ریاضی‌دانانها در آن شرکت داشتند و تدارک آن از همان زمانی آغاز شده بود که یونانیهای باستان ، به دنبال روش‌هایی برای تعیین سطح و حجم بودند، به پایان رساندند.
دوره سوم
همراه با حساب دیفرانسیل و انتگرال ، رشته‌های دیگری هم در آنالیز بوجود آمد: نظریه رشته‌ها ، نظریه معادله‌های دیفرانسیلی ، بکار بردن آنالیز در هندسه ، نظریه عمومی خطها و رویه‌های منحنی بنام هندسه دیفرانسیلی ، و همه این نظریه‌ها هم بوسیله مساله‌های مکانیک ، فیزیک و صنعت بوجود آمد و پیشرفت کرد.
دوره چهارم
آنالیز و رشته‌های مختلف آن ، روش‌های پرقدرتی برای حل مساله‌های مختلف دانش‌های طبیعت و صنعت بدست داد؛ نخستین آنها را به خاطر بیاوریم: پیدا کردن سرعت تغییر یک کمیت وقتی که رابطه بین خود کمیت و زمان معلوم باشد؛ تعیین مساحت شکل‌های منحنی‌الخط و حجم جسم‌ها؛ تعیین برآورد کلی یک جریان ، یا عمل کلی یک کمیت متغیر. برای نمونه ، حساب دیفرانسیل اجازه می‌دهد عمل گاز را ضمن انبساط ، وقتی که فشار طبق قانون معینی تغییر می‌کند، معین کنیم. همچنین بنابر قانون کولن ، که فشار میدان ناشی از بار نقطه‌ای را (یعنی باری که حجم حامل آن صفر فرض می‌شود) معین می‌کند، می‌توان به کمک حساب انتگرال ، فشار الکتریکی که دستگاه بارهای آن به اندازه کافی پیچیده باشد، پیدا کرد و غیره. سپس آنالیز روش پیدا کردن مقدارهای ماکزیمم و مینیمم را با شرط‌های مختلف بدست داد.
دوره پنجم
همان‌طور که در تاریخ هندسه یونان ، در پایان مسیر طولانی پیشرفت خود ، بیان دقیق و منظم هندسه وسیله اقلیدس داده شد، همان‌طور هم پیشرفت آنالیز ایجاب می‌کرد که بر شالوده‌ای دقیق‌تر و منظم‌تر از آن چه نویسندگان نخستین آن ، یعنی نیوتن ، اولر ، لاگرانژ ، و دیگران پایه گذاری کرده بودند، گذاشته شود. آنالیزی که این دانشمندان بوجود آوردند، اولا روز به روز مساله‌های دشوارتر و عمیق‌تری را در بر می‌گرفت، ثانیا خود حجم مطلب‌های آن ، نظم بیشتر ، شالوده محکم‌تر و اصول عمیق‌تری را طلب می‌کرد. به این ترتیب پیشرفت‌های کمیتی نظریه ، به ناچار مساله تحکیم بیشتر پایه‌های آن و منظم کردن تجزیه و تحلیل انتقادی اصل‌های آن را مطرح می‌کند. "تنظیم اصل‌ها" در نقطه آغاز یک نظریه مطرح نمی‌شود، بلکه پس از آن که نظریه به درجه معینی از پیشرفت برسد، یک چنین تنظیمی لازم می‌شود. زیرا بدون نظریه ، معلوم نیست که اصل‌ها را برای چه چیزی باید تنظیم کرد.
زمان انتقاد از آنالیز و منظم کردن و بنیانی کردن آن در میانه‌های سده نوزدهم به اجبار فرا رسید و با کوشش تعدادی از دانشمندان برجسته ، این امر دشوار و مهم با موفقیت به پایان رسید و بویژه تعریف‌های دقیقی از مفهوم‌های اساسی: عدد حقیقی ، متغیر ، تابع ، حد و پیوستگی بدست آوردند.
